[제 1장] 1.5-1 선형상미분방정식. Bernoulli 방정식. 개체군 역학
1. 선형성이란? 종속변수끼리는 서로 곱해져있지 않다. 종속변수가 Complex Function 안에 들어가있지 않다. 참고! Complex Function이란, 다항식을 제외한 지수, 로그, 삼각함수 등의 함수등을 말합니다. 참고! 독립변수는 흔히, y=f(x) 에서, x 라고 생각하시고, 종속변수는 y 라고 생각하시면 됩니다. 독립변수의 값의 변화에 따라 종속변수가 변하기 때문에 이름이 독립, 종속 변수 입니다. 2. 제차 (homogeneous) 란? 미분방정식에서 종속변수, 즉, $y$가 곱해져 있지 않은 항이 존재하면 제차(homogeneous)라고 합니다. $y'+p(x)y=0$ 같은 경우가 제차(homogeneous)이구요, $y'+p(x)y=r(x)$ 같은 경우가 비제차(nonhomogen..
[제 1장] 1.4-2 완전상미분방정식. 적분인자
변수분리법에서 했던 것처럼, 완전상미분방정식에 해당되지 않는 1계 상미분방정식을 완전상미분방정식으로 만드는 방법에 대해서 알아보겠습니다. 먼저, 적분인자라는 새로운 개념을 도입할 것인데요, 적분인자는 원래 식의 양변에 곱하였을 때, 완전미방으로 만들어주는 마법같은 녀석이라는 정도만 알고 계시면 충분하겠습니다. 자, 이제 완전상미분방정식으로 나타내어지지 않는 식이 다음과 같이 존재한다고 생각해보겠습니다. $P(x,y) dx + Q(x,y) dy = 0$ 이제, 완전상미분방정식을 만들어주기 위해 양변에 마법의 녀석, 적분인자 F를 곱하겠습니다. 편의를 위해 $P(x,y) \rightarrow P, \; Q(x,y) \rightarrow Q$ 라고 쓰겠습니다. 양변에 적분인자를 곱하니 $FPdx \; + \;..
전미분의 정의
미적분학을 공부하다보면 전미분과 편미분을 배우게 되는데요, 종종 이 개념들이 헷갈립니다... 오늘은 이 두 개중 '전미분'에 대해 정확히 아는 시간을 가져보도록 하겠습니다. 먼저, '증분'의 정의부터 짚고 넘어가겠습니다. 1. 증분 정의: $x$가 $a$에서 $a+\triangle x$로, $y$가 $b$에서 $b+\triangle y$로 각각 변한다고 가정하면, 이에 대응하는 $z$의 증분은 △z=f(a+△x, b+△y)−f(a, b)이다. 증분의 정의를 $x$와 $y$, 두 변수에 대해 정의내려 조금 와닿지 않는 분들이 계실 텐데요, 가장 일반적인 $y=f(x)$로 생각해보면 훨씬 더 이해가 잘 되실 겁니다. $y=f(x)$일 때, $\triangle y=f(x+\triangle x)-f(x)$ 자,..
최대ㆍ최소의 정리, 롤의 정리, 평균값의 정리
최대최소의 정리, 롤의 정리, 평균값의 정리는 모두 고교 시절 많은 분들이 들어보았지만 까먹으신 정리라고 생각합니다. 모른다고 크게 문제될 건 없지만, 가끔 개념이 막힐 때, 알고 있으면 뻥 뚫어주는데 도움을 주는 녀석이라고 생각합니다. 각각 보면 모두 당연한 이야기를 하고 있지만, 공부를 하다보면 그 당연한 이야기를 법칙으로 만들어 놓았을 때, 활용이 무궁무진해진다는 것을 독자분들은 매우 잘 알고 계실겁니다. 오늘은 그 의미에 대해 파악하는 시간을 가져보겠습니다. 참고로 모든 정의는 고교과정에서의 정의를 사용하였습니다. 1. 최대ㆍ최소의 정리 정의: 함수 $f$가 닫힌구간 $[a,b]$에서 연속이면 구간 $[a,b]$에서 최댓값과 최솟값을 갖는다. 해석: 어떤 함수가 어떤 구간에서 연속이라면 그 구간에..
