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공업수학

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[제 1장] 1.5-2 선형상미분방정식. Bernoulli 방정식. 개체군 역학 저번 글의 제차/비제차 선형상미분방정식에 이어서 Bernoulli 방정식에 대해 알아보도록 하겠습니다. Bernoulli 방정식은 미분방정식 파트에서 유일하게 '비선형'의 식을 '선형'으로 바꾸어주는 일을 합니다. 기본적인 형태는 다음과 같습니다. $y'+p(x)y = q(x)y^{1-a}, a\neq 0,1$ a에 대한 조건이 있는 이유는 0과 1을 집어넣으면 선형방정식이 때문입니다. 풀이방식은 다음과 같습니다. 1. $u=y^{1-a}$로 치환합니다. 2. $u' = (1-a)y^{-a}y' = (1-a)y^{-a}(qy^a-py)$ 로 계산할 수 있습니다. 다시 정리하면, $u'=(1-a)(q-py^{1-a})$로 표현할 수 있습니다. 참고! u'을 구할 때, 양변을 x에 대해 미분한 것이므로, $..
[제 1장] 1.5-1 선형상미분방정식. Bernoulli 방정식. 개체군 역학 1. 선형성이란? 종속변수끼리는 서로 곱해져있지 않다. 종속변수가 Complex Function 안에 들어가있지 않다. 참고! Complex Function이란, 다항식을 제외한 지수, 로그, 삼각함수 등의 함수등을 말합니다. 참고! 독립변수는 흔히, y=f(x) 에서, x 라고 생각하시고, 종속변수는 y 라고 생각하시면 됩니다. 독립변수의 값의 변화에 따라 종속변수가 변하기 때문에 이름이 독립, 종속 변수 입니다. 2. 제차 (homogeneous) 란? 미분방정식에서 종속변수, 즉, $y$가 곱해져 있지 않은 항이 존재하면 제차(homogeneous)라고 합니다. $y'+p(x)y=0$ 같은 경우가 제차(homogeneous)이구요, $y'+p(x)y=r(x)$ 같은 경우가 비제차(nonhomogen..
[제 1장] 1.4-2 완전상미분방정식. 적분인자 변수분리법에서 했던 것처럼, 완전상미분방정식에 해당되지 않는 1계 상미분방정식을 완전상미분방정식으로 만드는 방법에 대해서 알아보겠습니다. 먼저, 적분인자라는 새로운 개념을 도입할 것인데요, 적분인자는 원래 식의 양변에 곱하였을 때, 완전미방으로 만들어주는 마법같은 녀석이라는 정도만 알고 계시면 충분하겠습니다. 자, 이제 완전상미분방정식으로 나타내어지지 않는 식이 다음과 같이 존재한다고 생각해보겠습니다. $P(x,y) dx + Q(x,y) dy = 0$ 이제, 완전상미분방정식을 만들어주기 위해 양변에 마법의 녀석, 적분인자 F를 곱하겠습니다. 편의를 위해 $P(x,y) \rightarrow P, \; Q(x,y) \rightarrow Q$ 라고 쓰겠습니다. 양변에 적분인자를 곱하니 $FPdx \; + \;..
[제 1장] 1.4-1 완전상미분방정식. 적분인자 1.4절에서는 완전상미분방정식에 대해 알아보겠습니다. 완전상미분방정식을 보기에 앞서, '전미분'이 무엇인지 알아야하는데요, 전미분에 대해서는 따로 글이 있으니 정확한 이해를 원하는 분들은 아래 링크를 읽어보시기 바랍니다. 전미분의 정의 미적분학을 공부하다보면 전미분과 편미분을 배우게 되는데요, 종종 이 개념들이 헷갈립니다... 오늘은 이 두 개중 '전미분'에 대해 정확히 아는 시간을 가져보도록 하겠습니다. 먼저, '증분'의 raonjselfengineering.tistory.com 다시 한 번 전미분의 정의를 쓰면 다음과 같습니다. $du = \frac{\partial u}{\partial x}dx\; +\; \frac{\partial u}{\partial y}dy$ 자 이 때, $u(x,y)$를 $c$..
[제 1장] 1.3 분리가능 상미분방정식. 모델링 변수분리법(Method of Separating Vaiables)은 미분방정식을 푸는 가장 기초적인 스킬입니다. 1. 1계 상미분방정식에서 $y'$을 $\frac{dy}{dx}$로 바꿉니다. 2. 1계 상미분방정식을 $g(y)dy \; = \; f(x)dx$ 꼴로 정리합니다. 3. 양변을 적분해줍니다. $\int g(y)y' dx = \int f(x) dx + c$ 위와 같은 꼴로 나타내고, 해를 구할 수 있는 식을 분리가능 방정식(Separable Equation)이라고 합니다. 물론, 위와 같은 꼴로 나타내어지지 않는 1계 상미분방정식이 존재하겠죠? 그래서 책에서는 분리불가능한 식을 분리가능 방정식으로 바꾸는 한 가지 방법을 소개합니다. 1. $u=\frac{y}{x}, \;\; y' = u'x + ..
[제 1장] 1.1 기본개념. 모델링 여기 파트에서는 그냥 몇가지 단어의 뜻만 알고 넘어가면 충분하다고 생각합니다. 1. 모델 (model): 공학적 문제상황을 수학적 식으로 공식화 한 것. 2. 모델링 (modeling): 모델을 세우고, 수학적으로 푼 뒤, 결과를 공학적 관점에서 해석하는 일. 3. 미분방정식 (Differential Equation): 도함수를 포함하는 방정식 4. 상미분방정식 (Ordinary Differential Equation, ODE): - 상미분방정식의 뜻은 정의를 이해하는 것보다 반대되는 개념을 아는 것이 더 이해하는데 도움이 될 것 같습니다. - 상미분방정식(Ordinary Differential Equation)의 반대개념은 편미분방정식(Partial Differential Equation)입니다. - ..
공업수학의 내용, 그리고 배우는 이유! 안녕하세요! 오늘은 공업수학 공부를 시작하기에 앞서, 공업수학을 배우는 이유에 대해서 간단히 살펴보고, 공업수학에서는 무엇을 배우는지 보는 시간을 가져볼게요. 아마 대부분의 학교에서 Kreyszig 공업수학을 교재로 공부를 할텐데요, 너무나 혜자스럽게도 Kreyszig 공업수학은 문제풀이집도 판매를 하고 있습니다. 물론 구글링을 하면 pdf파일을 구할 수 있으나, 책으로 구매하는 편이 훨씬 보기 편리하고, 저작권을 준수하기 위해서라도 저는 구매를 추천드립니다. 책 내용을 살펴볼게요. 책은 상권과 하권 두 권으로 되어 있습니다. 대부분의 학교에서는 상권에서는 상미분방정식, 하권에서는 Fourier(푸리에) 해석과 편미분방정식을 다룰 것입니다. 상권에서 선형대수를 다루는 학교가 있을 수도 있는데 아마 대부분..

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