[제 1장] 1.4-1 완전상미분방정식. 적분인자

1.4절에서는 완전상미분방정식에 대해 알아보겠습니다.

 

완전상미분방정식을 보기에 앞서, '전미분'이 무엇인지 알아야하는데요,

 

전미분에 대해서는 따로 글이 있으니 정확한 이해를 원하는 분들은 아래 링크를 읽어보시기 바랍니다.

전미분의 정의

다시 한 번 전미분의 정의를 쓰면 다음과 같습니다.

$du = \frac{\partial u}{\partial x}dx\; +\; \frac{\partial u}{\partial y}dy$

 

자 이 때, $u(x,y)$를 $c$, 즉, 상수라고 가정해보겠습니다. 

$u(x,y)$가 상수이면 $du=0$이겠죠.

 

만약, $u=x+x^2y^3=c$라고 해보겠습니다.

 

위의 전미분 공식대로 $du$를 표현해보면 다음과 같은 식이 나오게 될 것입니다.

$du=(1+2xy^3)dx + (3x^2y^2)dy=0$

 

식을 $\frac{dy}{dx}$에 대해 정리하면, $y'=-\frac{1+2xy^3}{3x^2y^2}$가 됩니다.

 

여기까지 이해하는데 문제 없으셨나요? 

그렇다면 완전미분방정식도 이해하시는데 전혀 문제가 되지 않으실 겁니다.

 

위에서 푼 방식을 완전상미분방정식에 이제 적용해보겠습니다.

 

 

 

위의 전미분 공식과 유사한 형태를 만들기 위해 1계 선형상미분방정식을 다음과 같은 형태로 만들겠습니다.

$M(x,y)dx+N(x,y)dy=0$

 

이 때, 위의 식이 어떤 함수 $u(x,y)$의 미분형태, 즉, $du = \frac{\partial u}{\partial x}dx\; +\; \frac{\partial u}{\partial y}dy$ 라면, 우리는 이 식을 완전미분방정식(Exact Differential Equation)이라고 합니다.

 

맨 처음에 이 $u(x,y)$를 상수라고 가정하신 것, 기억하시나요?

 

이 식도 상수라고 가정하면, $du=0$이라고 할 수 있을 것입니다.

 

그렇다면 우리는 이 식의 일반해를 $u(x,y)=c$ 로 표현 할 수 있을 것입니다.

 

 

 

자, 이제 두 식을 나란히 놓고 비교해보겠습니다.

$M(x,y)dx+N(x,y)dy=0$

$\frac{\partial u}{\partial x}dx\; +\; \frac{\partial u}{\partial y}dy=0$

 

위 식과 아래식을 비교해보면

$\frac{\partial u}{\partial x}=M$, $\frac{\partial u}{\partial y}=N$

임을 알 수 있습니다.

 

이 식을 다시 다음과 같이 연산해보면,

$\frac{\partial M}{\partial y}=\frac{\partial^2 u}{\partial y\partial x}$, $\frac{\partial N}{\partial y}=\frac{\partial^2 u}{\partial x\partial y}$

입니다.

 

편미분에서는 순서가 중요하지 않으므로 (y로 먼저 미분하나, x로 먼저 미분하나 결과값은 같습니다.)

위 두 식은 같은 값이라는 것을 알 수 있습니다.

 

따라서, $\frac{\partial M}{\partial y}\; = \; \frac{\partial N}{\partial x}$ 라고 할 수 있습니다.

 

이것이 바로 완전미방이 되기 위한 조건입니다.

 

 

 

이제 완전미방을 푸는 방법을 알아보겠습니다.

 

식 $\frac{\partial u}{\partial x}=M$ 의 양변을 x에 대해 적분하면 $u=\int M dx+ k(y)$ 이고

식 $\frac{\partial u}{\partial y}=N$ 의 양변을 y에 대해 적분하면 $u=\int N dy + l(x)$입니다.

 

참고! 첫 식은 x에 대해 적분하였으므로 k(y)는 상수취급됩니다. 두번째 식 또한 y에 대해 적분하였으므로 l(x)는 상수취급됩니다.

 

위 의 두 식 모두 사용가능하나, 본 글에서는 윗 식을 사용하여 해를 구해보도록 하겠습니다.

 

 

 

다시 한 번 식을 적어 보겠습니다.

$u=\int M dx+ k(y)$

 

양변을 y에 대해 미분합니다.
$\frac{\partial u}{\partial y}=\frac{d(\int Mdx)}{dy} \; + \; k'(y) \; = \; N(x,y)$

 

$\frac{d(\int Mdx)}{dy}, N(x,y)$ 는 우리가 정확히 아는 식이므로

k'(y)에 대해 정리할 수 있습니다.

 

구한 k'(y)를 다시 $\frac{\partial u}{\partial y}=\frac{d(\int Mdx)}{dy} \; + \; k'(y)$ 에 넣고

양변을 y에 대해 적분하면,

$u(x,y)$ 가 나올 것입니다.

 

맨 처음에 $u(x,y)$가 상수라고 했던 것을 기억하신가요?

 

결국, $u(x,y) = \int M dx + k(y) = c$ 라고 쓸 수 있습니다.

 

이것이 바로 완전상미분방정식의 일반해입니다.

 

 

 

다음 글에서는, 완전상미분방정식의 형태로 나타내어지지 않는 방정식을 완전상미분방정식의 형태로 만드는 방법에 대해 알아보겠습니다.

 

 

 

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