[제 1장] 1.5-1 선형상미분방정식. Bernoulli 방정식. 개체군 역학

1. 선형성이란?

• 종속변수끼리는 서로 곱해져있지 않다.
• 종속변수가 Complex Function 안에 들어가있지 않다.

참고! Complex Function이란, 다항식을 제외한 지수, 로그, 삼각함수 등의 함수등을 말합니다.

참고! 독립변수는 흔히, y=f(x) 에서, x 라고 생각하시고, 종속변수는 y 라고 생각하시면 됩니다. 독립변수의 값의 변화에 따라 종속변수가 변하기 때문에 이름이 독립, 종속 변수 입니다.

 

 

 

2. 제차 (homogeneous) 란?

미분방정식에서 종속변수, 즉, $y$가 곱해져 있지 않은 항이 존재하면 제차(homogeneous)라고 합니다.

$y'+p(x)y=0$ 같은 경우가 제차(homogeneous)이구요,

$y'+p(x)y=r(x)$ 같은 경우가 비제차(nonhomogeneous)입니다.

 

 

1계 제차 선형상미분방정식은 변수분리를 통해 해를 구할 수 있습니다.

 

$y'+p(x)y=0$

$\frac{dy}{dx}+p(x)y=0$

$\frac{dy}{y}=-p(x)dx$

$ln|y|=-\int p(x)dx+c*$

 

$\therefore y(x)=ce^{\int p(x)dx}$

 

참고! $c=e^{c*}$ 입니다.

만약 여기서 c=0을 선택하여 y=0 이란 해를 구한다면, 이는 모든 x에 대해서 성립하므로 이를 자명한 해(trivial solution)이라고 합니다.

 

 

1계 비제차 선형상미분방정식은 적분인자를 통해 구할 수 있습니다.

 

$y'+p(x)y=r(x)$

 

적분인자를 $F(x)$이라고 하겠습니다. 이를 양변에 곱하면,

$F(x)y' + p(x)F(x)_y = r(x)F(x)$ 입니다.

 

여기서, 잠시 곱의 미분 공식 $(Fy)'=F'y+Fy'$ 를 살펴보면, 위 식의 좌변인 $F(x)y's + pF(x)_y$ 와 형태가 닮아있습니다.

 

따라서,  $(F(x)y)'=F'(x)y+F(x)y'= F(x)y' + p(x)F(x)_y$ 라 가정하면,

 

$F'(x)y+F(x)y'= F(x)y' + p(x)F(x)_y, F'(x)=F(x)p(x)$ 를 구할 수 있고, 이를 본래 식에 넣어보면,

 

$\frac{F'(x)y'(x)}{p(x)} + F'(x)y(x) = \frac{r(x)}{p(x)}F'(x), y'+p(x)y=r(x)$ 으로 원래 식과 같습니다.

따라서 가정이 옳았다는 것을 알 수 있습니다.

 

그렇다면, 이제 $(Fy)'=F(x)y'+p(x)F(x)y=r(x)F(x), (F(x)y)'=q(x)F(x)$ 라 할 수 있고,

$\frac{d(F(x)y}{dx} = r(x)F(x)$

$\int d(F(x)y)= \int r(x)F(x)dx$

$F(x)y = \int r(x)F(x) dx +c$

 

$\therefore y=F^{-1}(x)(\int{r(x)F(x)dx} + c)$

 

이제 F(x)가 뭔지 구해봐야겠죠?

위의 과정 중 $F'(x)=F(x)p(x)$ 를 통해 $F$를 구해보면,

 

$\frac{du}{dx}=F(x)p(x)$

$\frac{1}{F(x)}dF(x)=p(x)dx$

$\int{\frac{1}{F(x)}dF(x)}=\int{p(x)dx}$

$ln|F(x)| = \int{p(x)dx}$

마찬가지로, 적분인자의 적분에서는 적분상수를 생략합니다.

 

$\therefore F(x) = e^{\int p(x)dx}$

 

 

 

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