[제 1장] 1.5-2 선형상미분방정식. Bernoulli 방정식. 개체군 역학

저번 글의 제차/비제차 선형상미분방정식에 이어서 Bernoulli 방정식에 대해 알아보도록 하겠습니다.

 

Bernoulli 방정식은 미분방정식 파트에서 유일하게 '비선형'의 식을 '선형'으로 바꾸어주는 일을 합니다.

 

기본적인 형태는 다음과 같습니다.

 

 

$y'+p(x)y = q(x)y^{1-a}, a\neq 0,1$

 

a에 대한 조건이 있는 이유는 0과 1을 집어넣으면 선형방정식이 때문입니다.

 

 

풀이방식은 다음과 같습니다.

 

     1. $u=y^{1-a}$로 치환합니다.

 

     2. $u' = (1-a)y^{-a}y' = (1-a)y^{-a}(qy^a-py)$ 로 계산할 수 있습니다.

        다시 정리하면, $u'=(1-a)(q-py^{1-a})$로 표현할 수 있습니다.

        참고! u'을 구할 때, 양변을 x에 대해 미분한 것이므로, $y^{1-a}$를 그냥 x에 대해 미분하면 상수취급이 되어, 0이 되어 버립니다. 다만, 마치 y에 대해 미분한 것처럼 $(1-a)y^{-a}$로 표현하고 싶다면, 뒤에 $y'$을 붙여주면 됩니다. 

 

     3. 구한 u와 u'을 원래 식에 대입시켜주면,

        $u' + (1-a)pu = (1-a)q$ 로 쓸 수 있는데, 이는 선형상미분방정식입니다.

        비제차 선형상미분방정식의 해를 구하는 방법을 적용시키면 됩니다.