[제 1장] 1.4-2 완전상미분방정식. 적분인자

변수분리법에서 했던 것처럼, 완전상미분방정식에 해당되지 않는 1계 상미분방정식을 완전상미분방정식으로 만드는 방법에 대해서 알아보겠습니다.

 

먼저, 적분인자라는 새로운 개념을 도입할 것인데요,

적분인자는 원래 식의 양변에 곱하였을 때, 완전미방으로 만들어주는 마법같은 녀석이라는 정도만 알고 계시면 충분하겠습니다.

 

 

 

자, 이제 완전상미분방정식으로 나타내어지지 않는 식이 다음과 같이 존재한다고 생각해보겠습니다.

$P(x,y) dx + Q(x,y) dy = 0$

 

이제, 완전상미분방정식을 만들어주기 위해 양변에 마법의 녀석, 적분인자 F를 곱하겠습니다.

편의를 위해 $P(x,y) \rightarrow P, \; Q(x,y) \rightarrow Q$ 라고 쓰겠습니다.

 

양변에 적분인자를 곱하니

$FPdx \; + \; FQdy \; = \; 0$ 이 되겠죠?

 

완전미방의 조건을 기억하시나요? 

완전미방이 되기 위해선 $\frac{\partial (FP)}{\partial y} = \frac{\partial (FQ)}{\partial x}$ 이어야 하므로,

다시써보면, $F_yP+FP_y=F_xQ+FQ_x$라 할 수 있습니다.

 

F를 x 한 문자에 대한 식이라 가정하면, $F=F(x), \; F_y=0$ 이 되고,

 

따라서

$FP_y=F_xQ+FQ_x$

$F(P_y-Q_x)=F_xQ$

$F(P_y-Q_x) = Q\frac{dF}{dx}$

$\frac{1}{F}dF=\frac{1}{Q}(P_y-Q_x)dx$

$\int \frac{1}{F}dF = \int \frac{1}{Q}(P_y-Q_x)dx$

주의! 적분인자를 적분할 때는 적분상수를 써주지 않습니다. 적분상수를 쓰더라도, 결국 소거되어 사라지기 때문입니다. 괜히 써봤자 계산실수만 나옵니다...

 

$ln|F| = \int \frac{1}{Q}(P_y-Q_x)dx$

 

$F = e^{\int \frac{1}{Q}(P_y-Q_x)dx}$

 

자, 이제 구한 적분인자를 원래 식의 양변에 곱해주면 완전미방이 됩니다!

 

 

 

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