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공업수학

[제 1장] 1.5-2 선형상미분방정식. Bernoulli 방정식. 개체군 역학

저번 글의 제차/비제차 선형상미분방정식에 이어서 Bernoulli 방정식에 대해 알아보도록 하겠습니다.

 

Bernoulli 방정식은 미분방정식 파트에서 유일하게 '비선형'의 식을 '선형'으로 바꾸어주는 일을 합니다.

 

기본적인 형태는 다음과 같습니다.

 

 

y+p(x)y=q(x)y1a,a0,1

 

a에 대한 조건이 있는 이유는 0과 1을 집어넣으면 선형방정식이 때문입니다.

 

 

풀이방식은 다음과 같습니다.

 

     1. u=y1a로 치환합니다.

 

     2. u=(1a)yay=(1a)ya(qyapy) 로 계산할 수 있습니다.

        다시 정리하면, u=(1a)(qpy1a)로 표현할 수 있습니다.

        참고! u'을 구할 때, 양변을 x에 대해 미분한 것이므로, y1a를 그냥 x에 대해 미분하면 상수취급이 되어, 0이 되어 버립니다. 다만, 마치 y에 대해 미분한 것처럼 (1a)ya로 표현하고 싶다면, 뒤에 y을 붙여주면 됩니다. 

 

     3. 구한 u와 u'을 원래 식에 대입시켜주면,

        u+(1a)pu=(1a)q 로 쓸 수 있는데, 이는 선형상미분방정식입니다.

        비제차 선형상미분방정식의 해를 구하는 방법을 적용시키면 됩니다.