최대최소의 정리, 롤의 정리, 평균값의 정리는 모두 고교 시절 많은 분들이 들어보았지만 까먹으신 정리라고 생각합니다.
모른다고 크게 문제될 건 없지만, 가끔 개념이 막힐 때, 알고 있으면 뻥 뚫어주는데 도움을 주는 녀석이라고 생각합니다.
각각 보면 모두 당연한 이야기를 하고 있지만, 공부를 하다보면 그 당연한 이야기를 법칙으로 만들어 놓았을 때, 활용이 무궁무진해진다는 것을 독자분들은 매우 잘 알고 계실겁니다.
오늘은 그 의미에 대해 파악하는 시간을 가져보겠습니다.
참고로 모든 정의는 고교과정에서의 정의를 사용하였습니다.
1. 최대ㆍ최소의 정리
정의: 함수 f가 닫힌구간 [a,b]에서 연속이면 구간 [a,b]에서 최댓값과 최솟값을 갖는다.
해석: 어떤 함수가 어떤 구간에서 연속이라면 그 구간에서 최댓값과 최솟값이 모두 존재합니다.
-> 아래 그림을 봅시다. 구간 [a,b]를 설정하였고요, 그 구간내에 최댓값 f(c)와 최솟값 f(d)가 존재합니다.
2. 롤의 정리
정의: 함수 f가 닫힌구간 [a,b]에서 연속이고 열린구간 (a,b)에서 미분 가능할 때, f(a)=f(b)이면 f′(c)=0인 c가 (a,b)안에 적어도 하나이상 존재한다.
해석: 어떤 함수에서 연속이고 미분가능한 구간을 고릅니다. 이 때, 구간의 시작점의 함숫값과 구간의 끝점의 함숫값이 같으면 그 중간에는 반드시 기울기가 0인, 즉, 기울기의 부호가 변하게 되는 지점이 존재합니다.
-> 정의에서 닫힌구간과 열린구간을 나눈 이유는 닫힌구간만 언급하면 구간의 양 끝점은 미분이 불가능하잖아! 라는 테클이 들어올 수 있어서 입니다. 그래서 미분가능은 열린구간, 즉, 양끝점을 제외한 구간으로 한 것이죠. 구간구간 거리면 머리가 복잡해지는데, 그냥 한 개로 생각하시면 편할 것 같습니다. :)
-> 아래 그림을 보면서 이해해볼게요. 시작점을 a, 끝점을 b로 잡고 시작했네요. 그러면 위, 아래 어느 방향으로 출발하든, 다시 자기와 같은 곳으로 돌아오려면 한 번 꺾어야 할 것입니다. (그림을 한 번 그려보세요!) 물론 미분 가능해야 하니까 뾰족하게 꺾지 마시고 둥글게 꺾어주세요!
3. 평균값의 정리
정의: 함수 f가 [a,b]에서 연속이고 (a,b)에서 미분가능하다면 f(b)−f(a)b−a=f′(c)인 c가 (a,b)안에 적어도 하나 이상 존재한다.
해석: 롤의 정리의 일반화 버전입니다. 롤의 정리에서는 a와 b의 값이 같은 경우만 했었는데 평균값의 정리는 a와 b의 값이 달라도 됩니다. 대신, '기울기가 0인 지점이 반드시 하나이상 존재한다'가 아니라, 'a와 b를 연결한 점의 기울기가 반드시 하나이상 존재한다'로 바꾸어 생각하시면 되겠습니다.
[번외] 사이값 정리 (중간값 정리)
정의: 함수 f(x)가 [a,b]에서 연속이고 f(a)≠f(b)일 때, f(a)와 f(b)사이의 임의의 값 k에 대해서 f(c)=k인 c가 (a,b)에 적어도 하나 이상 존재한다.
해석: 어떤 함수의 어떤 구간의 양 끝의 함숫값이 서로 다를 때, 두 값의 사이의 값을 갖는 어떤 수 k가 존재한다는 뜻입니다.
-> 아래 그림을 보면서 생각해보겠습니다. 너무나 당연하게 f(a)에서 f(b)로 가기 위해서는 f(a)보다는 크고, f(b)보다는 작은 어떤 값을 꼭 지나가야겠죠?
참고! 많이들 중간값 정리로 알고 계실텐데요, 교육과정이 바뀌면서 '사이값 정리'라고 이름이 바뀌었답니다.
- 많이 부족한 대학생입니다. 글에 오류나 문제가 있다면 언제나 지적 부탁드립니다!
- 질문 또한 언제나 환영입니다!
- 항상 글의 난이도는 완전 처음 보시는 분들에게 도움이 되었으면 하는 바람에 최대한 쉽게 작성하고자 합니다. 따라서 약간 기술적으로 접근하는 부분이 있을 수 있습니다.
읽어주셔서 감사합니다!
