최대최소의 정리, 롤의 정리, 평균값의 정리는 모두 고교 시절 많은 분들이 들어보았지만 까먹으신 정리라고 생각합니다.
모른다고 크게 문제될 건 없지만, 가끔 개념이 막힐 때, 알고 있으면 뻥 뚫어주는데 도움을 주는 녀석이라고 생각합니다.
각각 보면 모두 당연한 이야기를 하고 있지만, 공부를 하다보면 그 당연한 이야기를 법칙으로 만들어 놓았을 때, 활용이 무궁무진해진다는 것을 독자분들은 매우 잘 알고 계실겁니다.
오늘은 그 의미에 대해 파악하는 시간을 가져보겠습니다.
참고로 모든 정의는 고교과정에서의 정의를 사용하였습니다.
1. 최대ㆍ최소의 정리
정의: 함수 $f$가 닫힌구간 $[a,b]$에서 연속이면 구간 $[a,b]$에서 최댓값과 최솟값을 갖는다.
해석: 어떤 함수가 어떤 구간에서 연속이라면 그 구간에서 최댓값과 최솟값이 모두 존재합니다.
-> 아래 그림을 봅시다. 구간 $[a,b]$를 설정하였고요, 그 구간내에 최댓값 $f(c)$와 최솟값 $f(d)$가 존재합니다.
2. 롤의 정리
정의: 함수 $f$가 닫힌구간 $[a,b]$에서 연속이고 열린구간 $(a,b)$에서 미분 가능할 때, $f(a)=f(b$)이면 $f'(c)=0$인 $c$가 $(a,b)$안에 적어도 하나이상 존재한다.
해석: 어떤 함수에서 연속이고 미분가능한 구간을 고릅니다. 이 때, 구간의 시작점의 함숫값과 구간의 끝점의 함숫값이 같으면 그 중간에는 반드시 기울기가 0인, 즉, 기울기의 부호가 변하게 되는 지점이 존재합니다.
-> 정의에서 닫힌구간과 열린구간을 나눈 이유는 닫힌구간만 언급하면 구간의 양 끝점은 미분이 불가능하잖아! 라는 테클이 들어올 수 있어서 입니다. 그래서 미분가능은 열린구간, 즉, 양끝점을 제외한 구간으로 한 것이죠. 구간구간 거리면 머리가 복잡해지는데, 그냥 한 개로 생각하시면 편할 것 같습니다. :)
-> 아래 그림을 보면서 이해해볼게요. 시작점을 $a$, 끝점을 $b$로 잡고 시작했네요. 그러면 위, 아래 어느 방향으로 출발하든, 다시 자기와 같은 곳으로 돌아오려면 한 번 꺾어야 할 것입니다. (그림을 한 번 그려보세요!) 물론 미분 가능해야 하니까 뾰족하게 꺾지 마시고 둥글게 꺾어주세요!
3. 평균값의 정리
정의: 함수 $f$가 $[a,b]$에서 연속이고 $(a,b)$에서 미분가능하다면 $\frac{f(b)-f(a)}{b-a}=f'(c)$인 $c$가 $(a,b$)안에 적어도 하나 이상 존재한다.
해석: 롤의 정리의 일반화 버전입니다. 롤의 정리에서는 $a$와 $b$의 값이 같은 경우만 했었는데 평균값의 정리는 $a$와 $b$의 값이 달라도 됩니다. 대신, '기울기가 0인 지점이 반드시 하나이상 존재한다'가 아니라, '$a$와 $b$를 연결한 점의 기울기가 반드시 하나이상 존재한다'로 바꾸어 생각하시면 되겠습니다.
[번외] 사이값 정리 (중간값 정리)
정의: 함수 $f(x)$가 $[a,b]$에서 연속이고 $f(a)\neq f(b)$일 때, $f(a)$와 $f(b)$사이의 임의의 값 $k$에 대해서 $f(c)=k$인 $c$가 $(a,b)$에 적어도 하나 이상 존재한다.
해석: 어떤 함수의 어떤 구간의 양 끝의 함숫값이 서로 다를 때, 두 값의 사이의 값을 갖는 어떤 수 $k$가 존재한다는 뜻입니다.
-> 아래 그림을 보면서 생각해보겠습니다. 너무나 당연하게 $f(a)$에서 $f(b)$로 가기 위해서는 $f(a)$보다는 크고, $f(b)$보다는 작은 어떤 값을 꼭 지나가야겠죠?
참고! 많이들 중간값 정리로 알고 계실텐데요, 교육과정이 바뀌면서 '사이값 정리'라고 이름이 바뀌었답니다.
- 많이 부족한 대학생입니다. 글에 오류나 문제가 있다면 언제나 지적 부탁드립니다!
- 질문 또한 언제나 환영입니다!
- 항상 글의 난이도는 완전 처음 보시는 분들에게 도움이 되었으면 하는 바람에 최대한 쉽게 작성하고자 합니다. 따라서 약간 기술적으로 접근하는 부분이 있을 수 있습니다.
읽어주셔서 감사합니다!
