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[제 1장] 1.5-2 선형상미분방정식. Bernoulli 방정식. 개체군 역학 저번 글의 제차/비제차 선형상미분방정식에 이어서 Bernoulli 방정식에 대해 알아보도록 하겠습니다. Bernoulli 방정식은 미분방정식 파트에서 유일하게 '비선형'의 식을 '선형'으로 바꾸어주는 일을 합니다. 기본적인 형태는 다음과 같습니다. $y'+p(x)y = q(x)y^{1-a}, a\neq 0,1$ a에 대한 조건이 있는 이유는 0과 1을 집어넣으면 선형방정식이 때문입니다. 풀이방식은 다음과 같습니다. 1. $u=y^{1-a}$로 치환합니다. 2. $u' = (1-a)y^{-a}y' = (1-a)y^{-a}(qy^a-py)$ 로 계산할 수 있습니다. 다시 정리하면, $u'=(1-a)(q-py^{1-a})$로 표현할 수 있습니다. 참고! u'을 구할 때, 양변을 x에 대해 미분한 것이므로, $..
[제 1장] 1.4-2 완전상미분방정식. 적분인자 변수분리법에서 했던 것처럼, 완전상미분방정식에 해당되지 않는 1계 상미분방정식을 완전상미분방정식으로 만드는 방법에 대해서 알아보겠습니다. 먼저, 적분인자라는 새로운 개념을 도입할 것인데요, 적분인자는 원래 식의 양변에 곱하였을 때, 완전미방으로 만들어주는 마법같은 녀석이라는 정도만 알고 계시면 충분하겠습니다. 자, 이제 완전상미분방정식으로 나타내어지지 않는 식이 다음과 같이 존재한다고 생각해보겠습니다. $P(x,y) dx + Q(x,y) dy = 0$ 이제, 완전상미분방정식을 만들어주기 위해 양변에 마법의 녀석, 적분인자 F를 곱하겠습니다. 편의를 위해 $P(x,y) \rightarrow P, \; Q(x,y) \rightarrow Q$ 라고 쓰겠습니다. 양변에 적분인자를 곱하니 $FPdx \; + \;..
[제 1장] 1.4-1 완전상미분방정식. 적분인자 1.4절에서는 완전상미분방정식에 대해 알아보겠습니다. 완전상미분방정식을 보기에 앞서, '전미분'이 무엇인지 알아야하는데요, 전미분에 대해서는 따로 글이 있으니 정확한 이해를 원하는 분들은 아래 링크를 읽어보시기 바랍니다. 전미분의 정의 미적분학을 공부하다보면 전미분과 편미분을 배우게 되는데요, 종종 이 개념들이 헷갈립니다... 오늘은 이 두 개중 '전미분'에 대해 정확히 아는 시간을 가져보도록 하겠습니다. 먼저, '증분'의 raonjselfengineering.tistory.com 다시 한 번 전미분의 정의를 쓰면 다음과 같습니다. $du = \frac{\partial u}{\partial x}dx\; +\; \frac{\partial u}{\partial y}dy$ 자 이 때, $u(x,y)$를 $c$..
[제 1장] 1.3 분리가능 상미분방정식. 모델링 변수분리법(Method of Separating Vaiables)은 미분방정식을 푸는 가장 기초적인 스킬입니다. 1. 1계 상미분방정식에서 $y'$을 $\frac{dy}{dx}$로 바꿉니다. 2. 1계 상미분방정식을 $g(y)dy \; = \; f(x)dx$ 꼴로 정리합니다. 3. 양변을 적분해줍니다. $\int g(y)y' dx = \int f(x) dx + c$ 위와 같은 꼴로 나타내고, 해를 구할 수 있는 식을 분리가능 방정식(Separable Equation)이라고 합니다. 물론, 위와 같은 꼴로 나타내어지지 않는 1계 상미분방정식이 존재하겠죠? 그래서 책에서는 분리불가능한 식을 분리가능 방정식으로 바꾸는 한 가지 방법을 소개합니다. 1. $u=\frac{y}{x}, \;\; y' = u'x + ..

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